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有趣的“回文数”

                                                   许昌实验小学  马燕
    本学期我在组内认领了一节趣味数学展示课,从接到任务开始,我就在构思本节课的内容。我想上一节有数学味儿的趣味课,还得结合本册教材的内容,符合学生的知识基础。 翻遍几个版本的教材,没有找到理性的教材。在本组杨变红老师的启发下,我跑到学校阅览室,一本一本地看与数学有关的书,想找到一点信息。果然,在一本书中,我看到了一片数学日记,里面描述了“回文数”。抓住这一点信息,我马上用手机现场查阅起有关“回文数”的资料,这一查收获很大。我当时就打定注意这节趣味课就讲“回文数”。
    有了头绪,就有了努力的方向。接下来,我就利用网络资源查找有关“回文数”的资料。通过整合资料,结合教材,在组长丁翠花老师的指导下,我将本节课的教学过程确定如下:
直接出示本节课课题:有趣的“回文数”。
师:同学们,看到今天的课题,你有什么想问?
生1:什么是回文数?
生2:有趣吗?
生3 :和以前学过的数有什么联系?……
结合学生的回答,教师板书本节课核心问题:什么是回文数?有趣吗?
教师:同学们,今天这节课我们重点带着这两个问题来认识“回文数”。在认识“回文数”之前,我们先来看一个小故事。
(播放介绍“回文句”的微课)
教师:语文上有“回文句”,数学上也有“回文数”。回文数的特征是从左往右读与从右往左读完全一样。如2、88、121.
你能再举几个回文数的例子吗?
学生举例。
教师:像这样的回文数很多,说都说不完。我们怎么有次序地找出1000以内所有的回文数呢?想一想,最小的回文数是几?
这时候,有的学生认为是“1”,但很快有其他同学认为是“0”。
教师:没错,最小的回文数是“0”。接下来呢?谁来接着报?
生:1、2、3、4、5、6、7、8、9.
教师:看来,我们学过的这10个一位数都是回文数。那两位数的回文数有什么特征呢?我们先来找一找,谁来报数?
生:11、22、33、44、55、66、77、88、99.
教师:观察一下,这些两位数的回文数有什么特征?
生:十位数字和个位数字相同。
教师:那三位数的回文数又有什么特征呢?我们先来找一找100多的回文数。谁来?
生:101、111、121、131、141、151、161、171、181、191.
教师:观察一下,你有什么发现?
生:百位数字和个位数字一样。
生:百位数字和个位数字都是1.
教师:谁能利用这个规律找一找200多的回文数?
生:202、212、222、232、242、252、262、272、282、292.
教师:300多,400多的呢?我找学生来连续报数。
生1:303、313、323、333、343、353、363、373、383、393。
生2:404、414、424、434、444、454、464、474、484、494。
生3:505、515、525、535、545、555、565、575、585、595。
生4:606、616、626、636、646、656、666、674、686、696。
生5:707、717、727、737、747、757、767、777、787、797。
生6:808、818、828、838、848、858、868、878、888、898。
生7:909、919、929、939、949、959、969、979、989、999。
(设计意图:从一个小故事引入回文句,紧接着介绍回文数,通过让学生举例以及找1000以内的回文数加深学生对回文数的理解 。)
教师:这109个回文数只是1000以内数的一部分,还有另一部分的数就不是回文数。你知道吗,科学家在研究回文数的时候发现了一个很有趣的现象。我们来看,13,倒过来写是31,把13和31相加得44.而44就是一个回文数。
正是因为这个现象,科学家提出了一个猜想:任意选取一个自然数,把它倒过来写出另一个自然数,并将这两个数相加;然后再把这个和数倒过来写出又一个自然数,再与原来的和数相加。这样经过若干次的“颠倒相加”后,总会得到一个回文数。
     比如:28,倒过来写是82,28+82=110,110不是回文数,接着往下算,110倒过来是011,110+011=121.121就是一个回文数。
这就是“回文数猜想”。
 同学们,你们觉得这个猜想是真的吗?自然数有那么多,真的是每一个数经过这样的计算之后都会出现回文数吗?
生:不一定。
教师:那既然是猜想,我们要想知道它是否正确,怎么办呢?
生:验证。
教师:对,验证。可是怎么验证呢?谁来想个验证的办法?
生:可以选几个数试一试。
生:把所有的数都算算。
教师:恩,要想验证这个猜想是否正确,的确是需要把所有的数都算一算。可是我们课堂时间有限,我们就按第一位同学说的那样,选几个数算一算。
(出示操作要求)
操作要求:任意选取一个两位数进行验证。如果有时间,可以多选取几个数进行验证。温馨提示:要想正确验证,计算一定要正确。
学生选数进行验证。教师巡视并进行指导。
 
教师挑选学生讲计算过程及结果板书在黑板上。
学生展示自己选取的数字及计算的步数,以及有没有得出回文数。
班里大部分同学通过一步计算就得出了回文数,一小部分通过两步、三部得出回文数。也有同学通过几次计算没有得出回文数。
这时候教师随即问学生:“他通过几次计算没有得出回文数,是不是就能证明这个猜想是错误的?”
学生摇头,表达出没有出现回文数还得继续计算的想法。
教师借机表扬,并向学生说这就是科学家的探索精神,要有耐心,和向困难挑战的决心和勇气。
(设计意图:像学生介绍“回文数猜想”,并引导学生通过计算验证。学生在验证的过程中感受到数学上数的奇妙,)
教师:你知道吗,科学家们凭着这种探索精神帮我们验证所有的两位数,我们一起来看。
(出示资料)经过计算,所有的 两位数,都会出现“回文数”。
只是89这个数字需要耐心一些,直到第24步才会出现一个13位的回文数,其计算结果是“8813200023188” 。
(当这个数据出示出来时,同学们都感到很震惊,被科学家们的精神所折服。)
教师:刚才我们这样计算的方法有一个名字,叫做“196算法”。看到这个名字,你有疑问吗?
生:为什么叫“196算法”。
教师:这个名字跟哪个数有关?
生:196.
教师:对呀,为什么用196命名呢?它有什么特殊之处吗?我们一起来看。
(出示资料)那么,在900个三位数中,它们是否都会出现“回文数”呢?这900个三位数中,有90个数字本身就是回文数。剩下的810个数字中,经过计算,1步就算出“回文数”的有213个,2步算出“回文数”的有281个,3步算出“回文数”的有145个,最迟算出“回文数”的要用23步。
另外,最终有13个数字未能算出“回文数”,它们是196、295、394、493、592、689、691、788、790、879、887、978、986.
这些被认为永远无法是一个“回文数”的自然数,被称为“利克瑞尔数”。
196有可能是最小的“利克瑞尔数”。
教师:为什么说196有可能是最小的“利克瑞尔数”,而不直接说它就是一个“利克瑞尔数”?
生:我觉得只要算下去,总会出现回文数的。
教师:没错,正是因为196的特殊性,引起了数学家的兴趣。不断有人向196发起挑战。
 1938年,计算机还没有问世的时候,美国数学家莱默计算到了第73步,得到一个35位的和数,计算结果中没有出现回文数。
随着计算机技术的发展,不断有计算机爱好者和数学爱好者向196发起挑战。        
到2006年,w.v.landingham已经计算到了699万步,得到一个2.89亿位以上的和数,之间的结果仍未出现“回文数”。
教师:对196的计算已经进行了这个多步了,仍然没有出现回文数,那我们是不是就能确定196就是一个“利克瑞尔数”,它永远就不会出现一个回文数呢?
生:我觉得只要计算下去,就会出现一个回文数。
教师:那你们想接着计算下去吗?
生:想。
教师:我真希望等到我头发花白的时候,再给像你们这么大的学生上课时,能够介绍这样的一条资料:     年, 中国的科学家          已经计算到了      万步,得到一个      亿位以上的和数。
教师:同学们,只要你们有耐心、有勇气,不断地学习、不断地探索,你们也能成为科学家,这些填空题就由你们来填写。
 
试讲的几次中,全课结束了同学们依然沉浸在震撼与好奇之中不能自拔,有位同学跑到我跟前问我:“老师,计算到24步那得用多少纸啊?”。第二天,一位女生问我:“老师,成为一名科学家难吗?”面对学生的问题,我暗暗窃喜,我觉得这节课在学生的心中已经泛起了一些涟漪,让学生感受到了数学的有趣,并想向数学深处去遨游。
 可是,在全校展示课之后,査校长连续问我几个问题:“把数颠倒过来相加会出现回文数,那么相减的话会不会也出现回文数呢?如果说加法上有一个196,那么减法当中会有哪一个数呢?”这些问题确实是我之前没有考虑过的。査校长接着说:“一节数学课,不仅只让学生感受科学家的精神,更重要的是要引发学生的思考。”听完査校长的几句话,我深感自己在教学路上还要学习的东西太多。探索之路已经展开,我一直在路上,只有通过不断地学习、思考、实践才能促进自己向前走。